так ладно поехали. один лайк = 1 (или чуть меньше, факты будут объемным) факт из математических/околоматематических дисциплин

favorite 36
message 81

1. начнем с математической статистики. для затравки расскажу про метод монте карло.

1.1 представьте что вы застряли на необитаемом острове, и в вам срочно надо посчитать чему равно число pi. Ваши действия:

1.2 рисуете на песке большой квадрат, вписываете в него круг и начинаете случайным образом кидать в в этот квадрат камешки

1.3 после ~сотни камешков посчитайте сколько из них попало в круг и разделите на общее число камешков.у вас получится что-то похожее на pi/4

1.4 как метод работает понятно интуитивно: площадь квадрата - a^2, площадь круга - (a/2)^2*pi. соотношение этих площадей и дает нам pi/4

1.5 правда если вам хочется узнать значение pi с большой точностью, придется запастить камешками и терпением

1.6 так как сходимость здесь довольно медленная - порядка 1/(n)^(1/2), порядок сходимости следует из центральной предельной теоремы

2. теперь, собственно, про саму центральную предельную теорему возможно, вы где-то натыкались на слова типа:

2.1 явка на выборы должна быть распределена согласно нормальному закону (у медузы вроде такое было) и задавались вопросом "че это за хуйня"

2.2 короче для описания вот таких вот процессов придумали случайную величину. физики определяют ее так:

2.3 величина называется случайной, если ее значение, нельзя предсказать, но ее можно многократно пронаблюдать

2.4 такое опредение глубоко оскорбляет любого математика, зато его довольно легко понять. на самом деле случайная величина это функция

2.5 у этой функции есть такое свойство- распределение. по сути это вероятность, с которой случайная величина принимает определенное значение

2.6 так вот допустим у вас есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин( i.i.d)

2.7 если вы просуммируете все эти случайные величины, вычтете из каждой ее матожидание и разделите на дисперсию * n^(1/2) (n - их кол-во)

2.8 то такая последовательность будет сходиться по распределению к нормальному! вот за что его все так любят

так короче мне завтра к первой паре в уник так что утром продолжу ставьте лайки!!

3. так окей продолжаем. Следующий на очереди парадокс бертрана

3.1 возьмём окружность и вписанный в неё равносторонний треугольник.С какой вероятностью наугад проведённая хорда будет длиннее его стороны?

3.2 бертран предложил три очевидно верных решения:

3.1 выберем наугад две точки на окружности и совместим одну с любой вершиной треугольника. Хорда будет длиннее стороны, если другая лежит..

3.2 между двумя оставшимися вершинами. Длина этой дуги - 1/3 от длины всей окружности. Получается p = 1/3

3.5 (че то я с нумерацией проебался) теперь зафиксируем радиус и будем случайным образом выбирать на нем точку

3.6 проведём через эту точку хорду, перпендикулярную радиусу. Так как радиус делится стороной правильного треугольника пополам p = 1/2

3.7 теперь будем случайным образом выбирать точку внутри окружности и проводить через неё хорду так, чтобы точка оказалась ее центром

3.8 понятно,что хорда будет длиннее стороны, если ее центр лежит вне вписанной в треугольник окружности.Отношение площадей окружностей=1/4

3.9 в принципе можно показать что для любого числа из (0;1) найдётся метод дающий такую вероятность. так,ну и че это за хуйня,- спросите вы

3.10 а дело все в том, что мы каждый раз выбираем разные вероятностные пространства.Так что для задачи не существует однозначного решения

4. Теперь про парадокс Монти Холла. Представьте, что перед вами 3 двери. В одной из них автомобиль, в двух других- козы.

4.1 вы выбираете одну дверь, и ведущий вне зависимости от вашего выбора открывает из двух оставшихся ту, где находится коза

4.2 после чего ведущий предлагает вам поменять свой выбор. Увеличатся ли ваши ваши шансы, если согласитесь?

4.3 на первый взгляд автомобиль будет находится за каждой из дверей с вероятностью 1/2, но оказывается, что это не так

4.4 если объяснять на пальцах, то изначально вероятность того, что автомобиль за одной из двух оставшихся дверей - 1/3.

4.5 но когда ведущий открывает дверь с козой, эта вероятность как бы переходит на оставшуюся. Так что шанс выиграть автомобиль увеличивается

4.6 строго довольно легко доказывается с использованием формулы Байеса

Бля тут должно быть 2/3 извините..

5. Ещё немного про нормальное распределение. Пусть есть n случайных величин, распределённых согласно стандартному нормальному закону.

5.1 тогда распределение этой случайной величины называется распределением Стьюдента.Оно используется при построении доверительных интервалов

5.2 но мне это распределение всегда нравилось тем, что ввел его статист Госсет, который работал на пивном заводе Гиннес. Всем пиво!

6. Переходим к комплексному анализу! Помните в школе говорили, что нельзя брать корень из отрицательного числа? Так вот вообще-то можно.

6.1 дело тут в том, что пространство вещественных чисел не замкнуто относительно операции возведения в степень.

6.2 то есть результат операции не всегда принадлежит исходному пространству. Чтобы такого безобразия избежать ввели пр-во комплексных чисел

6.3 оно уже замкнуто относительно всех операций. Суть в том что к числу добавляется ещё одна компонента - мнимая.

6.4 такие числа удобно изображать на плоскости.Так вот вводят число i = (-1)^(1/2). И вот вы уже без труда можете взять корень из отр. числа

6.5 и вот уже у любого квадратного уравнения с дискриминантом меньше нуля имеется два корня! Кайф)

7. Теперь про комплексные функции. Вообще они очень непростые для понимания, если вы конечно не живёте в 4-ех мерном пространстве

7.1 по сути пара чисел переходит в пару чисел. Так что изобразить такое на одной картинке практически невозможно

7.2 поэтому комплексную функцию часто изображают как переход одной плоскости в другую. Смотрят во что переходит координатная сетка

7.3 моя любимая функция - f(z) = e^z Не нашёл в интернетах нормальной картинки, так что держите мою

7.4 история из жизни: Как-то раз под кислыми очень долго пытался представить четырёхмерное пространство и бутылку кляйна. Почти получилось

8. Так теперь про логарифмы от отрицательных чисел. Скорее всего комплексные числа у многих были и корнем из -1 никого не удивить

8.1 Но вот логарифмов от отр.чисел точно ни у кого не было!Короче тут прикол в том что для каждого числа таких логарифмов счетное количество

8.2 вводится он вот так: Ln(z) = ln|z| + i (arg(z) + 2(pi)*k). Видно, что для вещественных чисел комплексный и обычный логарифм совпадают

8.3 вы можете спросить: а почему нельзя придумать какое-нибудь другое продолжение для вещественного логарифма?

8.4 тут на помощь приходит замечательная теорема единственности. в двух словах,если две комплексные функции совпадают на некотором множестве

8.5 то они совпадают и везде вне этого множества. поэтому никак по другому логарифм продолжить не получится

9. Немного про множества. Будем рассматривать множества, состоящие из бесконечного числа элементов.

9.1 Если все эти элементы можно пересчитать, то такое множество называется счетным. К таким относится, например,множество натуральных чисел

9.2 представьте себе бесконечный космический отель, в котором в каждом номере живет по представителю одного вида

9.3 и все номера, начиная с первого, заняты. тут приезжает ещё один гость. как его заселить?

9.4 очень просто. всех постояльцев по очереди переселяем в соседний номер, а в освободившийся заселим гостя.

9.5 если приедет не один гость, а любое конечное число гостей, то процедуру из предыдущего твита можно просто повторить

9.6 а если случился казус и приехало счетное число гостей?? действуем так же. Первого гостя оставляем на месте. Второго двигаем

9.7 на одну клетку вправо, третьего на две, четвёртого на три и так далее. В итоге получилось, что каждая вторая клетка свободна.

9.8 в них и заселим вновь прибывших гостей. А собственно к чему все это? Вывод очень простой

9.9 счетное множество остаётся счетным если добавить к нему конечное или даже счетное множество элементов

9.10 получается что множество натуральных чисел имеет такую же мощность, что и множество рациональных (числа вида m/n). Такой вот кек

Как оказалось длинные и абстрактные штуки никому особо не нравятся:( Последний факт про них и перейдём к машинному обучению

10. Рядом называется бесконечная сумма некоторых элементов. Суммировать можно в том числе и функции, получится функциональный ряд

10.1 такая штукенция называется дзета функцией римана. При s<1 она равняется бесконечности, что не очень интересно.

10.2 при таких s рассматривают ее аналитическое продолжение (как мы уже выяснили оно единственно). Вот смотрите какая красота

10.3 кстати,если где-то видели,что 1 + 1 + 1 +...=-1/12, то это неправда.Правую часть берут из аналит. продолжения,а левую из вот этой суммы

10.4 так вот гипотеза Римана заключается в том, что все нули этой функции лежат на прямой Re(z) = 1/2.

10.5 за доказательство этой гипотезы институт клэя предлагает 1 миллион доллеров.эту же премию пытались вручить Перельману в 2008.Он не взял

10.6 сказал, что с гипотезой Пуанкаре, которую он доказал, можно управлять вселенной...до сих пор живет с мамой..

10.7 отсюда строчки в песне у оксимирона: каждый просит фит каждый пишет денег дам вас миллион но мой кумир гриша перельман!!

11. Знакомьтесь, это бутылка Клейна! У неё нету внутри или снаружи, потому что это односторонняя поверхность.

11.1 ей гораздо комфортнее в четырёхмерном пространстве - в нем у неё нету самопересечения. а то, что мы видим на картинке - просто проекция

12. А тут у нас лента мебиуса! Она тоже односторонняя. Есть теория, что наша вселенная представляет из себя эдакую трёхмерную ленту мебиуса

12.1 то есть,если вы очень долго будете двигаться в одном направлении,то в коечном итоге вернётесь в начальную точку.правда, отзеркаленными

>